Tatbestand

I. Der Beklagte und Beschwerdegegner (das Finanzamt —FA—) hatte gegen die Kläger und Beschwerdeführer (Kläger) aufgrund von umfangreichen, insgesamt fünf Sachverhaltskomplexe umfassenden Ermittlungserkenntnissen (Außen- und Fahndungsprüfungen) Erst- bzw. Änderungsbescheide betreffend die Einkommensteuer 2001 bis 2010 und den Gewerbesteuermessbetrag 2001, 2004 bis 2006 erlassen; außerdem setzte das FA Einkommensteuervorauszahlungen für 2011 fest. Dabei brachte es —auf Schätzungen basierend— bisher nicht versteuerte bzw. künftig zu erwartende Einkünfte des Klägers aus Gewerbebetrieb in —zum Teil— Millionenhöhe in Ansatz. Nach Teilerfolgen im Einspruchs- und Klageverfahren wenden sich die Kläger nur noch gegen die —vom Finanzgericht (FG) in Anwendung von § 42 Abs. 1 Satz 1 der Abgabenordnung (AO) dem Grunde nach bestätigte— Zurechnung der gewerblichen Einkünfte einer ansonsten funktionslosen schweizerischen Aktiengesellschaft an den Kläger („Sachverhalt X”).